اثبات رابطه فیثاغورس

چند اثبات بی کلام رابطه فیثاغورس

 

 

 

 

 

منبع:ریاضی دوره راهنمایی

طرح درس کلاس سوم راهنمایی

 

ضمن عرض خدا قوت به دوستان عزیز و همکاران محترم

بنابه در خواست یکی از دوستان طرح درس ریاضی کلاس سوم را در وبلاگ

قرار دادم جهت دریافت اینجا کلیک کنید.

اثبات رابطه فیثاغورس به چند روش

در کتاب درسی سال سوم راهنمایی یک روش اثبات برای درستی رابطه فیثاغورس آمده است .

در زیر چهار روش متفاوت دیگر برای اثبات این رابطه درحد دانش آموزان دوره راهنمایی آورده می شود:

روش اول :ابتدا ارتفاع وارد بر وتر را رسم کرده و به کمک تشابه مثلث ها خواهیم داشت:

روش دوم : با چرخاندن مثلث ABC و کنار هم قرار دادن آنها یک ذوذنقه درست می شود.

 با استفاده از مساحت مثلثها خواهیم داشت:

روش سوم : با چرخاندن و کنارهم قرار دادن چهارمثلث مساوی یک مربع درست می شود .

با استفاده از دستور مساحت مربع و مثلث خواهیم داشت:

روش چهارم : با چرخاندن یک مثلث به روشی دیگر و کنار هم قراردادن چهارمثلث برابر

یک مربع درست می شود و با استفاده از مساحت خواهیم داشت:

 منبع:دنیای زیبای ریاضیات

فقط سوم راهنمایی ها بخونند

يكي از مشكلاتي كه نوعاً دانش‌آموزان با آن مواجه هستند، حلّ مسأله‌هاي مربوط به تناسب است به طوري كه گاهي تغييري در صورت مسأله ممكن است حلّ آن را براي دانش‌آموز غيرممكن سازد.

در اين جا با طرح مسأله‌هاي كار و كارگر سعي داريم تا اين مشكل را برطرف سازيم.
مسأله‌ي اوّل: M كارگر كاري را در D روز انجام مي‌دهند. اگر پس از گذشت d روز m كارگر (m < M , d < D) قادر به ادامه‌ي كار نباشند. كار چند روزه تمام خواهد شد؟[فرض بر اين است كه تمام كارگر‌ها در هر روز به طور مساوي كار مي‌كنند و خروج تعدادي از كارگران از كار، تأثيري بر ميزان كار بقيه ي كارگران نمي‌گذارد.]
حلّ: اگر ميزان كلّ كار را 1 واحد بگيريم، پس هر كارگر به ميزان  واحد كار در روز بايستي انجام دهد. ميزان كاري كه M كارگر در d روز انجام مي‌دهند برابر است با:.

اگر پس از خروج m كارگر از كار، ادامه‌ي كار  روز طول بكشد آن‌گاه ميزان كاري كه M-m كارگر درروز انجام مي‌دهند برابر است با:.
چون كلّ كار 1 واحد است، لذا خواهيم داشت:

 

و لذا خواهيم داشت: . اگر فرض كنيم پس از خروج m كارگر، كار در روز به اتمام خواهد رسيد آن‌گاه: .
مثال: 21 كارگر كاري را در 12 روز تمام مي‌كنند، اگر پس از گذشت 6 روز، 3 كارگر بيمار شوند، كار چند روزه تمام خواهد شد؟ حلّ: 21=M و 12=D و 6=d و 3=m . بنابراين:.

مسأله‌ي دوّم: اگر در مسأله‌ي اوّل به جاي عبارت: "پس از گذشت d روز" عبارت: "پس از انجام  كار (1 < K)" را بياوريم؛ مسأله چگونه حلّ مي‌شود؟
حلّ: اگر پس از خروج m كارگر از كار، ادامه‌ي كار روز طول بكشد آن‌گاه ميزان كاري كه M-m كارگر در روز انجام مي‌دهند برابر است با: و چون كار پيش از خروج m كارگر انجام شده است لذا داريم:.

اگر فرض كنيم پس از خروج m كارگر، كار در  روز به اتمام خواهد رسيد آن‌گاه:

 

كه در آن  زمان لازم براي انجام واحد كار است.
مثال: 10 كارگر كاري را در 30 روز انجام مي‌دهند. اگر پس از انجام ثلث كار، 5 كارگر بيمار شوند، كار چند روزه تمام خواهد شد؟
حلّ: 10=M و 30=D و 3=K و 5=m .بنابراين:

 

مسأله‌ي‌سوّم: M كارگر N هكتار زمين را در D روز شخم مي‌زنند. كارگر(M>) ، هكتار زمين(N<) را در چند روز شخم مي‌زنند؟ [فرض مسـأله ي اوّل برقرار است.]

 

حلّ: ميزان كاري كه هر كارگر در طول روز انجام مي‌دهد عبارت است از . اگر كارگر هكتار زمين را در روز شخم بزنند آن‌گاه:.

مثال: 20 كارگر، 12 هكتار زمين را در 6 روز شخم مي‌زنند. 15 كارگر، 18 هكتار زمين را در چند روز شخم مي‌زنند؟

 

اكنون پس از مطالعه‌ي مسائل و مثال‌هاي فوق، قادر خواهيد بود تا آگاهانه‌تر از رابطه‌هاي مربوط به مبحث تناسب معكوس استفاده نمائيد و به روشي براي حلّ اين گونه مسائل دست يافته‌ايد.

نویسنده:امیر رضا عرب

رسم کلاس سوم

 

حتما۷تا رسم کتاب کلاس سوم را ببینید اینجا کلیک کنید